☛ ** Exercice de synthèse

Énoncé
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text A \left( -2~ ; 1 \right)\), \(\text B \left( 3~ ; -2 \right)\) et \(\text C \left( 0~ ; 4\right)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text D\), image du point \(\text C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

3. En déduire la nature du quadrilatère \(\text{ABDC}\).

Solution

1. On a \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} x_{\text{B}} - x_{\text{A}} \\ y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ -2 - 1\\ \end{pmatrix}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5 \\ -3\\ \end{pmatrix}}\).

2. Soit \(\text D \left( x_{\text{D}} ; y_{\text{D}} \right)\)  l'image du point \(\text C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).
Ceci équivaut à \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AB}}\) .
Or, on a :
\(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} x_{\text{D}} - x_{\text{C}} \\ y_{\text{D}} - y_{\text{C}}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{CD}} \begin{pmatrix} x_{\text{D}} \\ y_{\text{D}} - 4\\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5 \\ -3\\ \end{pmatrix}\).
 \(\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AB}}\)  équivaut au système  \(\begin{cases} x_{\text{D}} = 5 \\ y_{\text{D}} - 4 = -3\\ \end{cases}\) c'est-à-dire \(\begin{cases} x_{\text{D}} = 5 \\ y_{\text{D}} = 1\\ \end{cases}\).
 Donc on obtient \(\boxed{\text D \left( 5 ; 1 \right)}\).

3. Puisque \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}\), le quadrilatère \(\text{ABDC}\) est un parallélogramme.